Limites de funciones racionales: ejercicios resueltos y explicados

Las funciones racionales son aquellas en las que el numerador y denominador son polinomios. Estas funciones son muy importantes en matemáticas ya que muchas de las funciones que se utilizan en la física, ingeniería y otras ciencias son funciones racionales. En este artículo, vamos a hablar sobre los límites de funciones racionales y cómo resolverlos.

¿Qué es un límite?

Antes de hablar sobre los límites de funciones racionales, es importante entender qué es un límite. Un límite es el valor al que se acerca una función cuando el valor de la variable se acerca a un determinado valor. Por ejemplo, si tenemos una función f(x) y queremos saber cuál es su límite cuando x se acerca a un valor a, escribimos:

lim x → a f(x)

¿Cómo encontrar los límites de funciones racionales?

Para encontrar los límites de funciones racionales, primero hay que simplificar la función. Si la función tiene un término constante en el denominador, es necesario eliminarlo. Después de simplificar, se puede encontrar el límite utilizando una de las siguientes dos técnicas:

Técnica de factorización

Esta técnica se utiliza cuando el límite de la función se acerca a un valor que hace que el denominador de la función sea cero. En este caso, es necesario factorizar el denominador y cancelar los términos comunes. Por ejemplo, si tenemos la función:

f(x) = (x^2 - 3x - 10) / (x - 5)

y queremos encontrar el límite cuando x se acerca a 5, tenemos que factorizar el denominador:

f(x) = (x^2 - 3x - 10) / (x - 5) = (x - 5) (x + 2) / (x - 5)

Después de factorizar, se cancelan los términos comunes y se obtiene:

f(x) = x + 2

Por lo tanto, el límite de la función cuando x se acerca a 5 es:

lim x → 5 f(x) = lim x → 5 (x + 2) = 7

Técnica de división sintética

Esta técnica se utiliza cuando el límite de la función se acerca a un valor que hace que tanto el numerador como el denominador de la función sean cero. En este caso, es necesario utilizar la técnica de división sintética para simplificar la función. Por ejemplo, si tenemos la función:

f(x) = (x^3 - 8) / (x^2 - 4x + 3)

y queremos encontrar el límite cuando x se acerca a 1, tenemos que utilizar la técnica de división sintética:

1 || 1 -4 3
| 1 -3
|---------
| 1 -3 0

Después de la división sintética, la función se simplifica a:

f(x) = (x - 1) / (x - 1)(x - 3)

Después de cancelar los términos comunes, se obtiene:

f(x) = 1 / (x - 3)

Por lo tanto, el límite de la función cuando x se acerca a 1 es:

lim x → 1 f(x) = lim x → 1 1 / (x - 3) = -1/2

Ejercicios resueltos

A continuación, vamos a resolver algunos ejercicios de límites de funciones racionales utilizando las técnicas mencionadas anteriormente.

Ejercicio 1:

f(x) = (x^2 - x - 12) / (x + 3)

Encontrar el límite de la función cuando x se acerca a -3.

Solución:

Primero, factorizamos el numerador y el denominador:

f(x) = (x - 4)(x + 3) / (x + 3)

Después de cancelar los términos comunes, se obtiene:

f(x) = x - 4

Por lo tanto, el límite de la función cuando x se acerca a -3 es:

lim x → -3 f(x) = lim x → -3 (x - 4) = -7

Ejercicio 2:

f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2)

Encontrar el límite de la función cuando x se acerca a 2.

Solución:

Utilizamos la técnica de división sintética:

2 || 1 0 -4
| 1 2
|---------
| 1 2 -2

Después de la división sintética, la función se simplifica a:

f(x) = (x + 2)

Por lo tanto, el límite de la función cuando x se acerca a 2 es:

lim x → 2 f(x) = lim x → 2 (x + 2) = 4

Ejercicio 3:

f(x) = (x^3 - 8x) / (x^2 - 4)

Encontrar el límite de la función cuando x se acerca a 2.

Solución:

Primero, factorizamos el numerador y el denominador:

f(x) = x(x - 2)(x + 2) / (x - 2)(x + 2)

Después de cancelar los términos comunes, se obtiene:

f(x) = x

Por lo tanto, el límite de la función cuando x se acerca a 2 es:

lim x → 2 f(x) = lim x → 2 x = 2

Conclusión

Los límites de funciones racionales son muy importantes en matemáticas y se utilizan en muchas áreas de la ciencia. Para encontrar los límites de funciones racionales, es necesario simplificar la función y utilizar una de las dos técnicas mencionadas anteriormente: la técnica de factorización o la técnica de división sintética.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función racional?

Una función racional es aquella en la que el numerador y denominador son polinomios.

2. ¿Por qué es importante conocer los límites de funciones racionales?

Es importante conocer los límites de funciones racionales porque muchas de las funciones que se utilizan en la física, ingeniería y otras ciencias son funciones racionales.

3. ¿Cuáles son las dos técnicas para encontrar los límites de funciones racionales?

Las dos técnicas para encontrar los límites de funciones racionales son la técnica de factorización y la técnica de división sintética.

4. ¿En qué casos se utiliza la técnica de factorización?

La técnica de factorización se utiliza cuando el límite de la función se acerca a un valor que hace que el denominador de la función sea cero.

5. ¿En qué casos se utiliza la técnica de división sintética?

La técnica de división sintética se utiliza cuando el límite de la función se acerca a un valor que hace que tanto el numerador como el denominador de la función sean cero.

6. ¿Cómo se simplifican las funciones racionales?

Las funciones racionales se simplifican factorizando el numerador y el denominador y cancelando los términos comunes.

7. ¿Por qué es necesario simplificar las funciones racionales antes de encontrar sus límites?

Es necesario simplificar las funciones racionales antes de encontrar sus límites para evitar errores y facilitar el cálculo.