Descubre los limites al infinito en funciones racionales

Las funciones racionales son un tipo de función matemática que se expresa como el cociente de dos polinomios. Pueden tener una gran variedad de formas y presentar diferentes comportamientos al acercarnos al infinito. En este artículo, descubrirás los límites al infinito en funciones racionales y cómo calcularlos.

¿Qué son los límites al infinito?

Antes de adentrarnos en los límites al infinito en funciones racionales, es importante entender lo que significa un límite al infinito. En términos generales, un límite al infinito se refiere a lo que sucede con una función cuando su variable independiente se acerca a un valor infinito o negativo infinito.

¿Cómo calcular los límites al infinito en funciones racionales?

Para calcular los límites al infinito en funciones racionales, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Identificar el término de mayor grado en el numerador y en el denominador de la función.
2. Dividir todos los términos de la función por el término de mayor grado en el denominador.
3. Evaluar el límite cuando la variable independiente se acerca al infinito.

Tipos de límites al infinito en funciones racionales

Hay tres tipos de límites al infinito en funciones racionales: límites horizontales, límites verticales y límites oblicuos.

Límites horizontales

Un límite horizontal se produce cuando la función se acerca a un valor constante a medida que la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito. Para calcular un límite horizontal, simplemente se debe evaluar la función cuando la variable independiente se acerca al infinito.

Límites verticales

Un límite vertical se produce cuando la función se acerca a infinito positivo o negativo a medida que la variable independiente se acerca a un valor constante. Para calcular un límite vertical, se debe evaluar la función cuando la variable independiente se acerca al valor constante.

Límites oblicuos

Un límite oblicuo se produce cuando la función se acerca a una recta oblicua a medida que la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito. Para calcular un límite oblicuo, se debe dividir el numerador y el denominador de la función y luego evaluar el límite.

Ejemplos de límites al infinito en funciones racionales

Ejemplo 1: Límite horizontal

Sea la función f(x) = (2x² + 3x - 1) / (x² + 1). Para calcular el límite horizontal cuando x se acerca al infinito, se divide todos los términos de la función por x². Entonces:

f(x) = (2x² / x²) + (3x / x²) - (1 / x²) / (1 / x² + 1 / x²)

f(x) = 2 + (3 / x) - (1 / x²) / (2 / x² + 1)

Cuando x se acerca al infinito, el término (1 / x²) se acerca a cero, por lo que el límite horizontal es igual a 2 / 2 = 1.

Ejemplo 2: Límite vertical

Sea la función f(x) = (x² - 1) / (x - 1). Para calcular el límite vertical cuando x se acerca a 1, se evalúa la función cuando x se acerca a 1. Entonces:

f(x) = ((1 + x) (1 - x)) / (x - 1)

Cuando x se acerca a 1, el término (1 - x) se acerca a cero, por lo que el límite vertical es igual a infinito negativo.

Ejemplo 3: Límite oblicuo

Sea la función f(x) = (3x² + 2x - 1) / (x + 2). Para calcular el límite oblicuo cuando x se acerca al infinito, se divide todos los términos de la función por x. Entonces:

f(x) = (3x / x) + (2 / x) - (1 / x) / (1 + 2 / x)

f(x) = 3 + (2 / x) - (1 / x) / (1 + 2 / x)

Cuando x se acerca al infinito, los términos (2 / x) y (1 / x) se acercan a cero, por lo que el límite oblicuo es igual a 3.

Conclusión

Los límites al infinito en funciones racionales son importantes para entender el comportamiento de las funciones a medida que la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito. A través de la identificación del término de mayor grado en el numerador y en el denominador, la división de los términos y la evaluación del límite, se pueden calcular los límites horizontales, verticales y oblicuos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una función racional?

Una función racional es aquella que se expresa como el cociente de dos polinomios.

2. ¿Cómo se calculan los límites al infinito en funciones racionales?

Para calcular los límites al infinito en funciones racionales, se debe identificar el término de mayor grado en el numerador y en el denominador, dividir todos los términos por ese término y luego evaluar el límite cuando la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito.

3. ¿Cuáles son los tipos de límites al infinito en funciones racionales?

Los tipos de límites al infinito en funciones racionales son límites horizontales, límites verticales y límites oblicuos.

4. ¿Qué es un límite horizontal?

Un límite horizontal se produce cuando la función se acerca a un valor constante a medida que la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito.

5. ¿Qué es un límite vertical?

Un límite vertical se produce cuando la función se acerca a infinito positivo o negativo a medida que la variable independiente se acerca a un valor constante.

6. ¿Qué es un límite oblicuo?

Un límite oblicuo se produce cuando la función se acerca a una recta oblicua a medida que la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito.

7. ¿Por qué son importantes los límites al infinito en funciones racionales?

Los límites al infinito en funciones racionales son importantes para entender el comportamiento de las funciones a medida que la variable independiente se acerca al infinito o negativo infinito.